Karekök üçün irrasyonel olduğunun ispatı

Karekök 2'nin neden irrasyonel olduğunu ispatladıktan sonra, sizlerden gelen yoğun istek üzerine karekök üçün de neden irrasyonel olduğunu burada açıklıyoruz.

Öncelikle rasyonel ve irrasyonel sayılarının tanımını yapalım:

Rasyonel sayı: Payı ve paydası tamsayı olan bir kesir olarak ifade edilebilen, bir diğer değişle virgülden sonraki belirlenebilen kısımdır. 1/2, 0,75, 0,50, 2 bunlara verilebilecek örneklerdir. 

İrrasyonel sayı: Payı ve paydası tamsayı olan bir kesir olarak yazılamayan sayılardır. Virgülden sonraki kısmı belirlenemez. Pi sayısı ve e sabiti, bunların en meşhur örneklerinden biridir. 

Şimdi karekök üçün irrasyonel olduğunun ispatına geçelim. Bunu yaparken karekök üçün neden rasyonel olamayacağını ispatlayacağız: Kök üçün, a ve b tam sayı olacak şekilde, a/b şeklinde ifade edilebildiğini düşünelim. Ayrıca, a ve b'nin aralarında 1'den başka ortak böleni olmadığını varsayalım (bu varsayımımız doğrudur, çünkü aralarında ortak böleni olsa bile a veya/ve b sadeleştirilip aralarında asal yapılabilir).

Kök üç = a/b          (1)

Denklem (1) de eşitliğin her iki tarafının karesini alırsak ve sonra içler-dışlar çarpımı yaparsak;

3(b^2)=(a^2)          (2)

Denklem iki'nin sağlanailmesi için a ve b'nin her ikisininde ya çift ya da tek sayı olması gereklidir. Ancak a ve b aralarında asal olduğu için ikisininde çift olma ihtimali yoktur. Dolayısıyla Denklem 2'nin sağlanabilmesi için a ve b nin tek olması gereklidir. Şimdi a ve b'yi tek sayı olarak farklı bir şekilde ifade edelim:

a= 2m+1              (3)

b= 2n+1               (4)

Denklem üç ve dördü, denklem ikinin içerisine koyarsak:

12n^2+12n+3 = 4m^2+4m+1         (5)

Denklem 5'i aşağıdaki şekle sadeleştirirsek:

6n^2+6n+1 = 2(m^2+m)                (6)

Denklem 6'daki eşitliğin sağ tarafı çift sol tarafı tek olduğu için değerler birbiriyle eşitlenemeyecek, dolayısıyla Denklem 6 geçersiz olacaktır. Dolayısıyla karekök 3'ü  sağlayabilen herhangi bir rasyonel a/b sayısı bulunamayacaktır.

Karekök beşin neden irrasyonel olduğunun ispatını buradan bulabilirsiniz.