Karekök İki'nin İrrasyonel Olduğunun İspatı

Karekök İki'nin İrrasyonel Olduğunun İspatı

Karekök İki'nin İrrasyonel Olduğunun İspatı


Öncelikle rasyonel ve irrasyonel sayılarının tanımını yapalım:

Rasyonel sayı: Payı ve paydası tamsayı olan bir kesir olarak ifade edilebilen, bir diğer değişle virgülden sonraki belirlenebilen kısımdır. 1/2, 0,75, 0,50, 2 bunlara verilebilecek örneklerdir.

İrrasyonel sayı: Payı ve paydası tamsayı olan bir kesir olarak yazılamayan sayılardır. Virgülden sonraki kısmı belirlenemez. Pi sayısı ve e sabiti, bunların en meşhur örneklerinden biridir.

Şimdi karekök iki'nin irrasyonel olduğunun ispatına geçelim. Bunu yaparken karekök ikinin neden rasyonel olamayacağını ispatlayacağız:

Kök ikinin, a ve b tam sayı olacak şekilde, a/b şeklinde ifade edilebildiğini düşünelim. Ayrıca, a ve b'nin aralarında 1'den başka ortak böleni olmadığını varsayalım (bu varsayımımız doğrudur, çünkü aralarında ortak böleni olsa bile a veya/ve b sadeleştirilip aralarında asal yapılabilir).

Kök iki = a/b          (1)

Denklem (1) de eşitliğin her iki tarafının karesini alırsak ve sonra içler-dışlar çarpımı yaparsak;

2(b^2)=(a^2)          (2)

Şimdi en başta belirttiğimiz üzere a ve b'nin aralarında asal olması için her ikisinin de çift sayı olmaması gerekir. Bu koşulu sağlamak için a veya b birinin ya da her ikisinin de tek sayı olması lazımdır. Denklem (2) de gördüğümüz gibi eşitliğin sol tarafındaki (a^2) terimi çift sayıdır. Bu terimin çift olabilmesi için a sayısının da çift olması gerekir. Çünkü, a sayısı tek ise, a'nın kendisi ile çarpımı da tek sayıyı verecektir.



Elimizdeki verilere göre a sayısının çift olması gerektiğini bulduk. Dolayısıyla, kök iki eğer rasyonelse, üst paragrafta ki bulgumuza göre b tek sayı olmak zorundadır- bunu aklınızın bir kenarında tutun. Şimdi, a'yı çift sayı olarak şu şekilde ifade edelim:

a=2k                        (3)

Denklem (3)'deki a'ya denk gelen '2k' terimini Denklem (2)'deki a yerine koyalım:

2(b^2)=4(k^2)        (4)

Sadeleştirme yaparsak şu eşitliği bulmuş oluyoruz:

(b^2)=2(k^2)          (5)

Ancak Denklem (2) ve (5)''e göre a değeri de b değeri de çift sayı çıkmaktadır ! Dolayısıyla, kök ikinin ispatı için gereken, a a ve b'nin aralarında asal olma koşulunu sağlayamıyoruz.

Sonuç olarak da kök iki ye rasyonel sayı diyemediğimiz için kök iki irrasyonel sayı oluyor.

Karekök üçün irrasyonel olduğunun ispatına ise buradan ulaşabilirsiniz. 


Yazar

Can Simit

COMMENTS

BLOGGER
Ad

Bilgisayar Oyunları,8,Bilim ve Teknoloji,20,Bitkiler Alemi,3,Biyografi,17,Bumerang,9,Can Simit,63,Coğrafya,4,Deneme Yazısı,2,Dikiş ve Nakış,10,Dil Öğrenimi,2,Edebiyat,21,ev,3,Fatih Karaali,3,Gezi & Travel,27,Hakan Sarıkaya,13,Hayvanlar Alemi,2,hobi | el işi | dekorasyon,4,Kara Kalem,16,Kitap İncelemesi,3,Magazin,2,Mehmet Çetin,35,Orçun Yiğit,8,Otomobil,23,örgü,5,pratik bilgiler,3,SAĞLIK,18,Sanat,1,Sinema,9,Şifalı Bitkiler,2,Şiir,1,Tarih,26,Tatlı Tarifleri,2,Yemek Tarıfleri,11,
ltr
item
Netten Yazar - Türkiye'nin En Hızlı Büyüyen BLOGU: Karekök İki'nin İrrasyonel Olduğunun İspatı
Karekök İki'nin İrrasyonel Olduğunun İspatı
Karekök İki'nin İrrasyonel Olduğunun İspatı
https://4.bp.blogspot.com/-tz3lZydFg7s/VDfRqbIJdbI/AAAAAAAAAHc/NHy6O4SdM-g/s1600/kareko%CC%88k.jpg
https://4.bp.blogspot.com/-tz3lZydFg7s/VDfRqbIJdbI/AAAAAAAAAHc/NHy6O4SdM-g/s72-c/kareko%CC%88k.jpg
Netten Yazar - Türkiye'nin En Hızlı Büyüyen BLOGU
https://nettenyazar.blogspot.com/2014/10/karekok-ikinin-irrasyonel-oldugunun.html
https://nettenyazar.blogspot.com/
https://nettenyazar.blogspot.com/
https://nettenyazar.blogspot.com/2014/10/karekok-ikinin-irrasyonel-oldugunun.html
true
7376820228945006475
UTF-8
Loaded All Posts Not found any posts VIEW ALL Readmore Reply Cancel reply Delete By Home PAGES POSTS View All RECOMMENDED FOR YOU LABEL ARCHIVE SEARCH ALL POSTS Not found any post match with your request Back Home Sunday Monday Tuesday Wednesday Thursday Friday Saturday Sun Mon Tue Wed Thu Fri Sat January February March April May June July August September October November December Jan Feb Mar Apr May Jun Jul Aug Sep Oct Nov Dec just now 1 minute ago $$1$$ minutes ago 1 hour ago $$1$$ hours ago Yesterday $$1$$ days ago $$1$$ weeks ago more than 5 weeks ago Followers Follow THIS CONTENT IS PREMIUM Please share to unlock Copy All Code Select All Code All codes were copied to your clipboard Can not copy the codes / texts, please press [CTRL]+[C] (or CMD+C with Mac) to copy