Karekök 5 sayısının irrasyonel olduğunun ispatı

Önceki yazılarımızda karekök 2'nin ve karekök 3'ün irrasyonel sayı olduklarının ispatını yapmıştık. Şimdi karekök 5'in ir...


Önceki yazılarımızda karekök 2'nin ve karekök 3'ün irrasyonel sayı olduklarının ispatını yapmıştık. Şimdi karekök 5'in irrasyonel sayı olduğunun ispatını yapalım.

Öncelikle rasyonel ve irrasyonel sayılarının tanımını yapalım:

Rasyonel sayı: Payı ve paydası tamsayı olan bir kesir olarak ifade edilebilen, bir diğer değişle virgülden sonraki belirlenebilen kısımdır. 1/2, 0,75, 0,50, 2 bunlara verilebilecek örneklerdir.

İrrasyonel sayı: Payı ve paydası tamsayı olan bir kesir olarak yazılamayan sayılardır. Virgülden sonraki kısmı belirlenemez. Pi sayısı ve e sabiti, bunların en meşhur örneklerinden biridir.



Şimdi Kök 5'in, a ve b tam sayı olacak şekilde, a/b şeklinde ifade edilebildiğini düşünelim. Ayrıca, a ve b'nin aralarında 1'den başka ortak böleni olmadığını varsayalım (bu varsayımımız doğrudur, çünkü aralarında ortak böleni olsa bile a veya/ve b sadeleştirilip aralarında asal yapılabilir).

Kök 5 = a/b          (1)

Denklem (1) de eşitliğin her iki tarafının karesini alırsak ve sonra içler-dışlar çarpımı yaparsak;

5(b^2)=(a^2)        (2)

Denklem (2) ye göre eğer b çift sayı ise a, a^2 ve b^2 çift sayı olmalıdır. Benzer şekilde eğer b tek sayı ise, a, a^2 ve b^2 tek sayı olmalıdır. Şimdi a'yı ve b'yi aşağıdaki gibi tek sayı olarak ifade edelim:


a= 2m+1              (3)
b= 2n+1              (4)


Denklem (3) ve (4) ü, denklem (2) nin içerisine koyarsak:


5[(2n+1)^2]=(2m+1)^2         (5)


Denklem (5) in her iki tarafını açalım:


20n^2+20n+5 = 4m^2+4m+1         (6)

Denklem (6) nın her iki tarafından bir çıkaralım:


20n^2+20n+4 = 4m^2+4m             (7)


Denklemin her iki tarafını 4'e bölelim:


5n^2+5n+1 = m^2+m                     (8)


Denklem (8) deki terimleri sadeleştirirsek:


5n(n+1) + 1 = m (m+1)                   (9)


Şimdi Denklem (9) deki "n(n+1)" ve "m(m+1) çarpımlarına dikkatle bakalım. Bu çarpımların sonucu, n veya m terimi ister çift ister tek olsun, her zaman çift çıkacaktır. Dolayısıyla Denklem (8) 'i şu şekilde ifade edebiliriz:


5*Çift + 1 = Çift                           (10)


Dikkat ederseniz Denklem (10)'un sağ tarafı çift olurken, sol tarafı tek sayı olmaktadır. Matematikte hem çift hem de tek sayı olmadığı için Denklem (1) geçersiz olmaktadır. Dolayısıyla kök 5 sayısı rasyonel bir sayı olamaz.

Kaynaklar:

https://en.wikipedia.org/wiki/Square_root_of_5






COMMENTS

BLOGGER: 2
Loading...
Ad

Bilgisayar Oyunları,8,Bilim ve Teknoloji,20,Bitkiler Alemi,3,Biyografi,17,Bumerang,9,Can Simit,63,Coğrafya,4,Deneme Yazısı,2,Dikiş ve Nakış,10,Dil Öğrenimi,2,Edebiyat,21,ev,3,Fatih Karaali,3,Gezi & Travel,27,Hakan Sarıkaya,13,Hayvanlar Alemi,2,hobi | el işi | dekorasyon,4,Kara Kalem,16,Kitap İncelemesi,3,Magazin,2,Mehmet Çetin,35,Orçun Yiğit,8,Otomobil,23,örgü,5,pratik bilgiler,3,SAĞLIK,18,Sanat,1,Sinema,9,Şifalı Bitkiler,2,Şiir,1,Tarih,26,Tatlı Tarifleri,2,Yemek Tarıfleri,11,
ltr
item
Netten Yazar - Türkiye'nin En Hızlı Büyüyen BLOGU: Karekök 5 sayısının irrasyonel olduğunun ispatı
Karekök 5 sayısının irrasyonel olduğunun ispatı
https://1.bp.blogspot.com/-_632WonSlvw/WK65inGlzAI/AAAAAAAAAh8/qR4NpfJDwWsFQiFRjryCQsJgPGBq2EKNgCLcB/s320/square%2Broot%2Bof%2B5.jpg
https://1.bp.blogspot.com/-_632WonSlvw/WK65inGlzAI/AAAAAAAAAh8/qR4NpfJDwWsFQiFRjryCQsJgPGBq2EKNgCLcB/s72-c/square%2Broot%2Bof%2B5.jpg
Netten Yazar - Türkiye'nin En Hızlı Büyüyen BLOGU
https://nettenyazar.blogspot.com/2017/02/karekok-5in-irrasyonel-say-oldugunun.html
https://nettenyazar.blogspot.com/
https://nettenyazar.blogspot.com/
https://nettenyazar.blogspot.com/2017/02/karekok-5in-irrasyonel-say-oldugunun.html
true
7376820228945006475
UTF-8
Loaded All Posts Not found any posts VIEW ALL Readmore Reply Cancel reply Delete By Home PAGES POSTS View All RECOMMENDED FOR YOU LABEL ARCHIVE SEARCH ALL POSTS Not found any post match with your request Back Home Sunday Monday Tuesday Wednesday Thursday Friday Saturday Sun Mon Tue Wed Thu Fri Sat January February March April May June July August September October November December Jan Feb Mar Apr May Jun Jul Aug Sep Oct Nov Dec just now 1 minute ago $$1$$ minutes ago 1 hour ago $$1$$ hours ago Yesterday $$1$$ days ago $$1$$ weeks ago more than 5 weeks ago Followers Follow THIS CONTENT IS PREMIUM Please share to unlock Copy All Code Select All Code All codes were copied to your clipboard Can not copy the codes / texts, please press [CTRL]+[C] (or CMD+C with Mac) to copy