Katılara uygulanan gerilim ve elastik gerilim hızı

Başlığı karmaşık ve uzun bulabilirsiniz. Bunun yanı sıra benim bu konudaki bilgim çok da detaylı değil. Ama sizlere rijit (kuvvet altında deformasyona uğramayan) bir katının birşeye çarpması sonucu katının iç yapısında ortaya çıkan muazzam kuvvetlerden basitçe söz etmek istiyorum.

Düşünün ki elinizde bir adet rijit dikdörtgenler prizması şeklinde bir çubuk olsun ve siz bu çubuğa uzun kenarı boyunca düzenli-dağılımlı bir kuvvet uygulayın. Aşağıda Şekil 1 de bunun şematiğini görebilirsiniz. Çubuk içerisinde bu kuvvete bağlı bir sigma gerilimi oluşacak ve parça v hızı kazanmış olacaktır. Yalnız buradaki varsayımımız çubuk rijit olacak ve sadece kuvvetin uygulandığı yönde yani uzunlamasına hareket edecektir.

Şekil 1: Rijit bir çubuğa uzunlamasına düzenli-dağılımlı gerilim uygulanması

Şimdi Şekil 1'de de gösterildiği üzere çubuğu hareket ettiren şey içerisindeki sigma gerilimidir. Yani çubuğun içerisinde sigma geriliminin uygulandığı herhangi kesitte parçanın v hızı kazanmasını bekliyoruz. Tüm çubuk aynı v hızını kazanacağı için çubuğun bir ucuna verdiğimiz gerilimin çubuk üzerinde hareket etmesi gerekiyor. İşte bu gerilimin hızına uzunlamasına gerilim hızı (Longitudinal stress wave speed), kısaca CL diyoruz. Peki, gerçek hayata dönecek olursak, böyle bir çubuğa vurduğumuz zaman nasıl oluyor da göz açıp kapayıncaya kadar çubuğun tamamı aynı hızı kazanıyor ?  İşte, burada CL hızının v hızından çok çok büyük olması gerekiyor. CL hızının ne kadar büyük olduğunu aşağıdaki formülden hesaplayabiliriz (derivasyonu şu aşamada karmaşık olduğu için bahsetmeyeceğim):

CL = Karekök (E/d)     (1)

E, elastisite modülü (Pa) dediğimiz çubuğun malzemesinin deformasyona ne kadar dayanabildiğini gösteren sayısal bir değer, d ise yoğunluk (kg/metreküp) dür. Ekstrem bir örnek yapacak olursak çeliği ele alalım. Çeliğin E si 208 GPa (208,000,000,000 Pa) yoğunluğu ise 7800 kg/metreküp olup CL hızı 5164 m/s (18590 km/h) olmaktadır. Ses hızının 343 m/s (1235 km/h) olduğunu düşünürsek yaklaşık olarak çelikte gerilimin iletilme hızı ses hızından 15 kat daha fazladır. Mesela bu yüzden ki katı kütleleri arasındaki çarpışmalarda gerilimlerin birbiriyle interaksiyonları sadece mikro-saniye (Saniyenin milyonda biri) mili saniye mertebeleri arasında meydana gelmektedir ki bu kısacık süre sonunda çarpışma biter. Ancak, biz bu süreyi idrak edemediğimiz için çarpışmaları anlık kabul ederiz.

Tabii çubuklarda sadece uzunlamasına  gerilim hızları yoktur. Aynı zamanda sıkım (torsional) ve bükme (bending)'ye dayalı gerilim hızları da vardır. Fakat bunlara burada değinmeyeceğiz.

Şimdi ise hızı Delta(v) kadar değişmiş bir çubuğa uygulanan içsel gerilimin miktarını bulalım (Bunun da derivasyonu karmaşık olduğu için burada bahsetmiyorum):

Sigma = CL*d*Delta(v)         (2)

Mesela 1 m uzunluğunda dikdörtgenler prizması çeliği (yukarıda özellikleri verilen), ağırlık merkezi yerden 1 m yukarı olacak şekilde yere bırakırsak çarpmanın hemen öncesindeki hızı

=Karekök (2*9.81*1) = 4.4 m/s

Çarpma esnasındaki hız değişimi Delta(v)= -4.4 m/s

Çarpma anındaki çelikteki iç gerilim = 5164*7800*(-4.4) = 177,228,480 Pa yani yaklaşık 177 Mpa yani milimetrekare'ye yaklaşık 18 tondur.

Kaynaklar:

http://www.ce.memphis.edu/7137/Dynamic_Geotechnical/introduction_files/One%20Dimensional%
20Wave%20Equation.pdf

http://fsinet.fsid.cvut.cz/en/U2052/node129.html