9 Ekim 2014 Perşembe

Karekök İki'nin İrrasyonel Olduğunun İspatı


Öncelikle rasyonel ve irrasyonel sayılarının tanımını yapalım:

Rasyonel sayı: Payı ve paydası tamsayı olan bir kesir olarak ifade edilebilen, bir diğer değişle virgülden sonraki belirlenebilen kısımdır. 1/2, 0,75, 0,50, 2 bunlara verilebilecek örneklerdir.

İrrasyonel sayı: Payı ve paydası tamsayı olan bir kesir olarak yazılamayan sayılardır. Virgülden sonraki kısmı belirlenemez. Pi sayısı ve e sabiti, bunların en meşhur örneklerinden biridir.

Şimdi karekök iki'nin irrasyonel olduğunun ispatına geçelim. Bunu yaparken karekök ikinin neden rasyonel olamayacağını ispatlayacağız:

Kök ikinin, a ve b tam sayı olacak şekilde, a/b şeklinde ifade edilebildiğini düşünelim. Ayrıca, a ve b'nin aralarında 1'den başka ortak böleni olmadığını varsayalım (bu varsayımımız doğrudur, çünkü aralarında ortak böleni olsa bile a veya/ve b sadeleştirilip aralarında asal yapılabilir).

Kök iki = a/b          (1)

Denklem (1) de eşitliğin her iki tarafının karesini alırsak ve sonra içler-dışlar çarpımı yaparsak;

2(b^2)=(a^2)          (2)

Şimdi en başta belirttiğimiz üzere a ve b'nin aralarında asal olması için her ikisinin de çift sayı olmaması gerekir. Bu koşulu sağlamak için a veya b birinin ya da her ikisinin de tek sayı olması lazımdır. Denklem (2) de gördüğümüz gibi eşitliğin sol tarafındaki (a^2) terimi çift sayıdır. Bu terimin çift olabilmesi için a sayısının da çift olması gerekir. Çünkü, a sayısı tek ise, a'nın kendisi ile çarpımı da tek sayıyı verecektir.



Elimizdeki verilere göre a sayısının çift olması gerektiğini bulduk. Dolayısıyla, kök iki eğer rasyonelse, üst paragrafta ki bulgumuza göre b tek sayı olmak zorundadır- bunu aklınızın bir kenarında tutun. Şimdi, a'yı çift sayı olarak şu şekilde ifade edelim:

a=2k                        (3)

Denklem (3)'deki a'ya denk gelen '2k' terimini Denklem (2)'deki a yerine koyalım:

2(b^2)=4(k^2)        (4)

Sadeleştirme yaparsak şu eşitliği bulmuş oluyoruz:

(b^2)=2(k^2)          (5)

Ancak Denklem (2) ve (5)''e göre a değeri de b değeri de çift sayı çıkmaktadır ! Dolayısıyla, kök ikinin ispatı için gereken, a a ve b'nin aralarında asal olma koşulunu sağlayamıyoruz.

Sonuç olarak da kök iki ye rasyonel sayı diyemediğimiz için kök iki irrasyonel sayı oluyor.

Karekök üçün irrasyonel olduğunun ispatına ise buradan ulaşabilirsiniz. 


Yazar

Can Simit

LÜTFEN BU YAZIYI SOSYAL MEDYADA PAYLAŞINIZ

Tepkiler:

0 yorum:

Yorum Gönder

Yorumunuz için teşekkür ederiz.

GÖRÜNTÜLENME

E-MAIL ABONELİK

BUMERANG

Bumerang - Yazarkafe

BUMERANG

Bumerang - Yazarkafe

BUMERANG

Bumerang - Yazarkafe

ÖZEL GÜNLERİNİZİ SÜSLEYİN... ZEDONNA.COM

ÖZEL GÜNLERİNİZİ SÜSLEYİN... ZEDONNA.COM
Çiçekli Taçlar, Nikah Şekeri, Kokulu Taş, Cam Şişe, Lohusa Ürünleri, Kaneviçe, Doğum Günü, Sünnet, Mevlüt, Kına, Düğün

EN ÇOK OKUNANLAR.........(Son 7 günde)

Tüm Zamanların Rekoru